已知直线y=αx(α>0

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/27 03:08:52
已知直线y=αx(α>0),y=1/α*x(α>0)与双曲线y=k/x(k>0)在第一象限的图象分别交于点A,B,而O是坐标原点.如果三角形OAB是等边三角形,求α的值.

dd

解:由图形的对称性可知,两条直线与x轴正方向的夹角分别为15°和75°

令α=tan75°=2+√3
1/α=tan15°=2-√3

或者α=2-√3
1/α=2+√3

另一种解法:按你的图:
设A(x1,y1),B(x1,y2)且
y1=ax1
y2=x2/a
x1y1=x2y2=k

k=x1y1=ax1^2=x2y2=x2^2/a
x1=√(k/a)
y1=√(ak)

x2=√(ak)
y2=√(k/a)

OA^2=x1^2+y1^2=k/a+ak
OB^2=k/a+ak
AB^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=ak-2+k/a+k/a-2+ak
=2ak-4+2k/a

OA^2=OB^2=OC^2
k/a+ak=2ak-4+2k/a
ak-4+k/a=0
a-4+1/a=0
a^2-4a+1=0
(a-2)^2=3
a-2=±√3
a=2±√3

1:α=2+√3
1/α=2-√3

或者
2:α=2-√3
1/α=2+√3